• ISSN 2096-8957
  • CN 10-1702/P

地震动空间变化随机描述及相干函数模型研究进展

俞瑞芳 王少卿 俞言祥

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地震动空间变化随机描述及相干函数模型研究进展

    作者简介: 俞瑞芳(1974-),女,研究员,主要从事结构抗震理论、地震动特性分析及模拟研究. E-mail:yrfang126@126.com.
    通讯作者: 俞言祥, yuyx@cea-igp.ac.cn
  • 中图分类号: TU352

Reviewing of stochastic description of the spatial variation of ground motion and coherence function model

    Corresponding author: Yu Yanxiang, yuyx@cea-igp.ac.cn
  • CLC number: TU352

  • 摘要: 本研究主要讨论地震动空间变化的随机描述. 首先给出了基于密集地震台阵记录估计相干函数的方法,并对计算中需要关注的问题给出了相应的解释;然后对现有的经验和半经验相干函数模型的建立进行了详细的梳理,并对模型在工程应用中的适用性、有效性和局限性进行了讨论;最后通过对比分析不同相干函数模型对场址地震动空间相关性的模拟结果,对相干函数模型的选择提出了建议.
  • 图 1  SMART-1台站分布(修改自Loh, 1985

    Figure 1.  Distribution of SMART-1 stations (modified from Loh, 1985)

    图 2  UPSAR台站布置图(修改自Yu et al., 2011

    Figure 2.  Distribution of UPSAR stations (modified from Yu et al., 2011)

    图 3  迟滞相干函数随频率的变化(记录来源于自贡台阵的汶川地震记录)(修改自Yu et al., 2020

    Figure 3.  Variation of hysteresis coherence function with frequency (recorded from Wenchuan earthquake records of Zigong array) (modified from Yu et al., 2020)

    图 4  迟滞相干函数随台站距离的变化.(a)汶川地震记录(ZGSA)(与台站Z0相关的值用‘*’表示, 与台站Z1相关的值用‘+’表示, 其他值用‘○’表示);(b)Parkfield地震记录(UPSAR)(修改自Yu et al., 2011, 2020

    Figure 4.  Variation of the hysteretic coherence function with the distance of the station. (a)Wenchuan earthquake (ZGS) (The values related to station Z0 are denoted with asterisks‘*’, the values related to station Z1 are denoted with plus symbols ‘+’, and the data from other stations are denoted with circles‘○’). (b)Parkfield earthquake (UPSAR) (modified from Yu et al., 2011, 2020)

    图 5  四种相干函数模型对实际地震记录相干函数的拟合结果.(a)汶川地震记录(ZGSA)(与台站Z0相关的值用‘*’表示, 与台站Z1相关的值用‘+’表示, 其他值用‘○’表示);(b)Parkfield地震记录(UPSAR);(c)San Simeon地震记录(UPSAR)(修改自Yu et al., 2011, 2020

    Figure 5.  Fitting results of four coherence function models to the coherence function of real seismic records. (a) Wenchuan earthquake (ZGSA) (The values related to station Z0 are denoted with asterisks‘*’, the values related to station Z1 are denoted with plus symbols‘+’, and the data from other stations are denoted with circles‘○’). (b) Parkfield earthquake (UPSAR). (c) San Simeon earthquake (UPSAR) (modified from Yu et al., 2011, 2020)

    图 6  震中距95~140 km,Yu等(2020)模型与其它模型的对比

    Figure 6.  Comparison and analysis of Yu et al. (2020) model with other models in the range of 95~140 km epicenter distance

    图 7  震中距50~95 km,Yu等(2020)模型与其它模型的对比

    Figure 7.  Comparative analysis of Yu et al. (2020) model with other models in the range of epicenter distance of 50~95 km

    表 1  基于SMART-1台阵记录的迟滞相干模型

    Table 1.  Lagged coherence model based on SMART-1 array records

    序号模型表达式参数说明文献
    1$\left| {\gamma (\omega,d)} \right| = \exp (- \alpha d)$参数$\alpha $基于第5次地震Loh(1985)
    2${array}{l} \left| {\gamma (\omega,d)} \right| = A\exp \left(- \frac{ {2Bd} }{ {a\nu (\omega)} }\right) + (1 - A)\exp \left(- \frac{ {2Bd} }{ {\nu (\omega)} }\right) \\ \nu (\omega) = k{\left[1 + {\left(\frac{\omega }{ {2\text{π} {f_0} } }\right)^b}\right]^{ - 1/2} };{array}{*{20}{c} } {B = 1 - A + aA} {array} \\ {array}$$A = 0.736,a = 0.147$
    $k = 5\;210\;{\rm{ m}},{f_0} = 1.09\; {\rm{Hz} }$
    ${f_0} = 1.09 \;{\rm{Hz} },b = 2.78$(第20次地震)
    Harichandran和Vanmarcke(1986)
    3$\left| {\gamma (\omega,d)} \right| = \exp \left(- a\frac{ {\omega d} }{ {2\text{π} V} }\right)$$a = 0.125$(第40次地震) ,$V$为波的视速度Loh和Yeh(1990)
    4${array}{l} \left| {\gamma (\omega,d)} \right| = \exp (- a{d^2}) \\ \left| {\gamma (\omega,d)} \right| = \exp \{ (- a - b{\omega ^2})d\} \\ \left| {\gamma (\omega,d)} \right| = \exp \{ (- a - b\omega){d^c}\} \\ {array} $$a = 2 \times {10^{ - 5}},b = 5 \times {10^{ - 6}}$
    (第40次地震)
    $a = 2 \times {10^{ - 5}},b = {\rm{2}}.5 \times {10^{ - 6}}$
    (第45次地震)
    Loh和Lin(1988)
    5${array}{l} \left| {\gamma (\omega,d)} \right| = \exp \{ (- {a_1} - {b_1}{\omega ^2})\left| {d\cos \theta } \right|\}\cdot \\ \qquad\qquad\exp \{ (- {a_2} - {b_2}{\omega ^2})\left| {d\sin \theta } \right|\} \\ {array}$$\theta $ 为地震波传播方向与两个台站连线的夹角
    6${array}{l} \left| {\gamma ({d_{\rm{L} } },{d_{\rm{T} } },\omega)} \right| = \exp (- {\beta _1}{d_{\rm{L} } } - {\beta _2}{d_{\rm{T} } })\cdot \\ {\rm{ } } \exp \{ - ({\alpha _1}(\omega)\sqrt { {d_{\rm{L} } } } + {\alpha _2}(\omega)\sqrt { {d_{\rm{T} } } }){\left(\frac{\omega }{ {2\text{π} } }\right)^2}\} \\ {\alpha _i}(\omega) = \frac{ {2\text{π} {a_i} } }{\omega } + \frac{ { {b_i}\omega } }{ {2\text{π} } } + {c_i}{array}{*{20}{c} } {array}i = 1,2 \\ {array}$${d_{\rm{L}}}$-沿波传播方向的距离
    ${d_{\rm{T}}}$-垂直波传播方向的距离
    (第24、30和45次地震)
    Hao等(1989) ; Oliveir等(1991)
    7${array}{l} \left| {\gamma (\omega,d)} \right| \\ = A\exp \left(- \frac{ {2d(1 - A)} }{ {ak} }\right){\left[1 + {\left(\frac{\omega }{ {2\text{π} {f_0} } }\right)^b}\right]^{1/2} } + (1 - A) \\ {array}$第20、24次地震记录进行分析,
    建议对空间距离大于100 m的高频记录使用
    Harichandran(1991)
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    表 2  四次地震的相干拐点频率${f_{{\rm{cc}}}}$取值

    Table 2.  Values of coherent inflection point frequency ${f_{{\rm{cc}}}}$ of four earthquakes

    地震事件汶川
    Ms 8.0)
    27th
    Ms5.9)
    San Simeon
    Ms 6.5)
    Parkfield
    Ms 6.0)
    台阵名称 ZGSASMART-1UPSARUPSAR
    震中距/km226.613555.611.6
    ${f_{{\rm{cc}}}}$/Hz 1.51.00.750.50
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出版历程
  • 收稿日期:  2020-08-05
  • 网络出版日期:  2020-09-24
  • 刊出日期:  2021-03-01

地震动空间变化随机描述及相干函数模型研究进展

    通讯作者: 俞言祥, yuyx@cea-igp.ac.cn
    作者简介: 俞瑞芳(1974-),女,研究员,主要从事结构抗震理论、地震动特性分析及模拟研究. E-mail:yrfang126@126.com

摘要: 本研究主要讨论地震动空间变化的随机描述. 首先给出了基于密集地震台阵记录估计相干函数的方法,并对计算中需要关注的问题给出了相应的解释;然后对现有的经验和半经验相干函数模型的建立进行了详细的梳理,并对模型在工程应用中的适用性、有效性和局限性进行了讨论;最后通过对比分析不同相干函数模型对场址地震动空间相关性的模拟结果,对相干函数模型的选择提出了建议.

English Abstract

    • 地震时从震源释放出来的能量以地震波的形式传至地表,地表各点接收到的地震波是经由不同路径、不同地形地质条件而到达的,因而反映到地表各点的振动必然存在差异(Luco and Sotiropoulos, 1980; Loh, 1985; Harichandran and Vanmarcke, 1986; Spudich and Oppenheimer, 1986). 地震动在空间上不同测点间的变化对于平面尺寸较小建筑物的影响通常可以忽略不计,但对于大跨度的空间结构,如长大桥梁、大底盘联体结构、隧道、渡槽,以及管线、输电塔等生命线工程将会产生重要影响,有时可能是不利的影响(Hindy and Novak, 1980; Saxena et al., 2000; Zerva, 2009; Mohamed et al., 2015; Tian et al., 2018). 虽然近年来人们越来越多地认识到了地震动空间变化对一些大跨空间结构影响的重要性,但在现行的抗震规范中,除欧洲规范考虑了地震动的空间变化外,一般都是采用一致地震动输入. 我国虽然在建筑超限审查中要求长度超过300 m的建筑物考虑地震动空间变化的影响,但是在分析中对非一致地震动输入的规定在工程应用中也缺乏可操作性.

      造成地震动空间变化的主要原因可用四个因素来说明,即行波效应、部分相干效应、衰减效应和局部场地效应. 而地面运动从一点到另一点的参数变化则可通过地面运动加速度的互功率谱密度来进行描述,将其标准化就称之为相干函数(Der Kiureghia, 1996). Novak和Hindy(1979)基于风的相干模型首先在地震工程中提出了相干函数模型,并在其后的研究中将此模型用于管线的研究;之后,冯启民和胡聿贤(1981)对我国1975年海城地震余震的观测记录进行分析,建立了新的相干函数模型,并通过中国海城地震和日本荒川台阵记录给出了经验参数的取值. 关于地震动空间变化的影响因素和相干函数模型,国内外学者开展了长期的研究,比如,Der Kiurghian(1996)从理论上分析认为地震动在空间各点不同变化主要是受到行波效应的影响;而Somerville等(1999)对场点间地震动相干损失的影响分析认为地震动空间变化主要影响因素有行波效应、震源、传播途径以及场地条件等;钟菊芳等(2005)利用台阵SMART-1记录分析同一测点不同分量间的相干性,得出同一测点各地震动分量间是低相干,两水平分量间的相干性高于竖向与水平分量间的相干性等结论;李爽等(2007)基于1994年Northridge地震和1995年Kobe地震远场地震加速度记录,得出远场地震动相干性普遍强于近场的结论;丁海平等(2004)利用数值方法模拟理论地震发生状态图,得到的相关结论与利用台阵实际观测数据进行统计分析的结果基本吻合,为考虑地震动空间相干性的随机统计分析方法提供了一个新思路.

      从1980年代初开始,我国台湾省、日本等地陆续建立了大型的密集型强震观测台网,记录地震动在几千米、几百米、甚至十几米范围内的变化. 图1所示为1980年建设在我国台湾罗东镇(Lotung)的密集观测台网SMART-1(Strong Motion Array in Taiwan, phase 1),由37个台站组成,布设在以中央台站为原点,以200 m、1 000 m和2 000 m为半径的圆弧上,台站间距在100~4 000 m之间. SMART-1在运行期间(1980~1991年),总共记录到了60个地震、4 000多条加速度记录,这为研究局部小尺度范围内的地震动空间变化规律提供了大量的数据. 图2所示为1980年代后期布设在美国加州的密集台阵UPSAR(U.S. Geological Survey Parkfield Dense Seismograph Array),其位于河谷和低山丘陵地带,由14个台站组成,各台站的空间相对距离小于1 000 m,非常适合于工程尺度范围内地震动空间特性的研究. UPSAR成功获得了2003年的San Simeon地震(Ms6.5)和2004年的Parkfield地震(Ms6.0)的主震及其余震的加速度记录. 基于地震台阵的大量记录,国内外学者相继提出了许多有价值的相干函数模型(Bolt et al., 1982; Lou, 1985; Harichandran and Vanmarcke, 1986; Abrahamson et al., 1991; O1iveira et al., 1991a;屈铁军等; 1996). 然而,由于地震动的频谱成分十分复杂,受震源机制、传播途径和场地条件等诸多因素的影响,由统计回归得到的经验相干函数模型都只能在一定程度上反映地震动的空间变化特点. 因此,自1980年代中期以来,相继提出了一些关于地震动空间相干函数的半理论半经验模型(Luco and Wong, 1986; Abrahamson et al., 1991b; Der Kiureghian, 1996; Zerva and Harada, 1997; 丁海平等, 2004; Yu et al., 2011; 阿布都瓦里斯等, 2013; Yu et al., 2020). 本文的主要目的是讨论基于密集地震台阵记录估计相干函数的方法,并对现有的经验和半经验相干函数模型的适用性和局限性进行讨论,为工程实践提供具有参考价值的地震动空间变化的近似估计方法.

      图  1  SMART-1台站分布(修改自Loh, 1985

      Figure 1.  Distribution of SMART-1 stations (modified from Loh, 1985)

      图  2  UPSAR台站布置图(修改自Yu et al., 2011

      Figure 2.  Distribution of UPSAR stations (modified from Yu et al., 2011)

    • 为了在有限的强震观测台阵记录(如加速度时程)中提取到有用的信息,一般采取一些基本假定(Zerva and Zervas, 2002),即(1)随机场各向同性假定. 由于大部分强震观测台阵设在场地条件统一的场地上,该假设可行性较好;(2)假定台阵记录到的地震动是平稳的随机过程;(3)台站记录到的加速度时程具有各态历经性. 基于以上假定,Harichandran和Vanmarcke(1986)将随机过程引入到地震动场的研究,发展了地震动随机场理论,认为任意两点的地震动时程之间是相关的,可用两点地震动的协方差函数来表示.

      为了便于说明,定义不同测点$m$$n$记录到的同方向地震加速度时程分别为${a_m}\left(t \right)$${a_n}\left(t \right)$. 对于一个平稳过程,${a_m}\left(t \right)$${a_n}\left(t \right)$的互协方差函数可以写为(Watts and Jenkins, 1968):

      ${\hat R_{mn}}\left(t \right) = \dfrac{1}{T}\int_0^{T - \left| \tau \right|} {{a_m}\left(t \right)} {a_n}\left({t + \tau } \right){\rm{d}}t\;\;\;\; \left| \tau \right| \leqslant T$

      (1)

      式中,$\tau $是时间差,$T = N\Delta t$为地震动S波窗的持续时间($N$为波窗内时间序列中的样本数,$\Delta t$为时间步长).

      实际计算中,通常对互协方差函数用窗函数进行平滑处理,由于实际时间过程的窗函数一般假定为无限窗口的一部分,因此在时间上可认为具有均匀性,能够满足平稳性假设,即:

      ${R_{mn}}\left(\tau \right) = w\left(\tau \right){\hat R_{mn}}\left(\tau \right)$

      (2)

      式中,$w\left(\tau \right)$为窗函数,应具有性质$w\left(\tau \right) = w\left({ - \tau } \right)$$w\left({\tau = 0} \right) = 1$$\displaystyle\int_{ - \infty }^\infty {w\left(\tau \right)} {\rm{d}}\tau = 1$.

      此时平滑后的谱密度(或互谱密度)可以写为:

      ${S_{mn}}\left(\omega \right) = \dfrac{1}{{2\text{π} }}\int_{ - T}^T {{R_{mn}}} \left(\tau \right){{\rm{e}} ^{ - i\omega \tau }}{\rm{d}}\tau $

      (3)

      式中,$i = \sqrt { - 1} $$\omega $是圆频率.

      虽然不同台站地震记录的傅里叶谱明显不同,但是由于假设随机场在空间上是均匀的,因此可认为两个时间历程的功率谱与台站场地无关(Zerva and Zervas, 2002),于是相干函数可由两个台站$m$$n$的平滑互谱计算得到(Hindy and Novak, 1980; Harichandran and Vanmarcke, 1986),即:

      $\begin{split} {\gamma _{mn}}\left({\omega,d} \right) &= \dfrac{{{S_{mn}}\left({\omega,d} \right)}}{{\sqrt {{S_{mm}}\left({\omega,d} \right){S_{nn}}\left({\omega,d} \right)} }} \\&=\left| {{\gamma _{mn}}\left({\omega,d} \right)} \right|\exp \left[ {i\theta \left({\omega,d} \right)} \right] \end{split}$

      (4)

      式中,${S_{mn}}\left({\omega,d} \right)$是点$m$$n$间的互功率谱密度函数,${S_{mm}}\left({\omega,d} \right)$${S_{nn}}\left({\omega,d} \right)$分别为支撑点$m$$n$的自功率谱密度函数,其中$\omega $是圆频率,$d$为不同支撑点之间的距离,$\exp \left[ {i\theta \left({\omega,d} \right)} \right]$常用于描述地震波传播的行波效应,即由于地震动的波传播特性使得其到达各点有一定的时间差,$\left| {{\gamma _{mn}}\left({\omega,d} \right)} \right|$称为迟滞相干函数,用于描述不同观测点地震地面运动的相似性.

      相干函数${\gamma _{mn}}(\omega,d)$为实部偶函数、虚部奇函数的Hermitian共轭函数,并且它的模为$0 \leqslant \left| {{\gamma _{mn}}\left({\omega,d} \right)} \right| \leqslant 1$. 用相干函数描述地震动的空间相关特性有许多优点:(1)相干函数是标准化的互功率谱,是在频域中描述随机过程间的相互关系的统计物理量,符合地震动的随机特性,也便于工程应用;(2)相干函数的绝对值在0和1之间,它反映了测点间的地震动既有联系又不完全相同,符合台阵记录的分析结果;(3)相干函数是一个复数,它能反映测点间地震动的相位特性,即波的传播特征. 因此,用相干函数描述地震动的空间相关程度具有较好的发展前景.

      基于密集地震观测记录,按照式(2)~(4)计算两点间地震动相干函数时,还需要注意三个问题. 第一,对原始地震加速度记录进行基线校正. 虽然现在的数字强震仪具有很好的低频特性,可用来获取可靠的地震动长周期特性,但是在高分辨率的数字化强震记录中仍然存在一定的误差,导致低频成分由于基线的偏移而失真. 已有的研究表明,当地震动周期小于20 s时,简单的基线校正不影响地震动特性(Boore, 2001; Wang et al., 2003),因此在地震动相干函数的计算中,可以对台阵记录到的地震加速度时程采用简单的基线校正方法,即首先在每条地震动记录中减去各自记录的平均值,然后采用Butterworth四阶高通滤波器滤掉小于0.05 Hz的部分,从而得到了校正后的地震加速度记录. 当然其它合适的基线校正方法都可以用于对原始数据的基线处理.

      第二,由于台阵地下地质结构横向差异和平面波传播模式的不同会导致各台站之间地震到时的差异(Spudich, 1994; Boissieres and Vanmarcke, 1995),而这种不同台站间地震到时差异会影响迟滞相干函数的计算结果,因此计算时需要对不同台站间的到时扰动进行相应的修正. 在实际分析中,可首先计算两条地震记录之间相关函数最大值出现的时间点,从而确定两条记录的时间错动,然后选择参考台站,前后移动另一台站的记录,最终使得与两条记录之间的互相关函数最大值出现在时间轴0位置上. 需要说明的是,台站之间时间扰动的校正受参考台站选择的影响,因此选择参考台站的不同会导致计算结果的不同. Yu等(2020)基于我国自贡地震台阵的记录,详细说明了参考台站的选取和对时间扰动的校正方法.

      第三,相干函数的计算和选用的平滑窗类型$w\left(\tau \right)$有很强的相关性,和对原始数据的平滑程度也相关. Abrahamson等(1991a)研究表明平滑窗口的选择不仅要考虑相干性的统计特性,还应考虑计算应用的目的,一般情况下,采用11个点的Hamming窗来计算相干函数,除了接近零的频率外,一般都能得到很好的估计结果.

      由式(4)可以看出,相干函数是随着频率和两点间距变化的函数,图3给出了迟滞相干函数随频率的变化曲线,其中图3a为两个台站记录三分量的变化,图3b为不同台站间一个方向水平分量的变化. 计算数据为我国四川自贡台阵(ZGSA)记录到的2008年汶川地震记录,计算时对原始数据进行了基线和时间扰动的调整(Yu et al., 2020). 可以看出,在频率较低的范围内,相干函数随着频率增大逐渐减小的趋势明显,但在高频范围内,变化规律相对比较复杂,且台站间距离较小时一般得到较大的相干函数值;此外两个测点间记录的三分量的相关变化在频率较低的范围内基本一致. 图4给出了基于两个不同台阵地震记录分析得到的相干函数在圆频率$\omega $分别为${\rm{\text{π} }}$${\rm{3\text{π} }}$${\rm{10\text{π} }}$时随距离的变化(Yu et al., 2011; Yu et al., 2020),可以看出,在频率较低的范围内,相干函数随台站间距离增大而减小的趋势十分明显,但在高频部分的变化相对比较复杂,与局部的场地条件、震中距、台站所在位置等多个因素有关.

      图  3  迟滞相干函数随频率的变化(记录来源于自贡台阵的汶川地震记录)(修改自Yu et al., 2020

      Figure 3.  Variation of hysteresis coherence function with frequency (recorded from Wenchuan earthquake records of Zigong array) (modified from Yu et al., 2020)

      图  4  迟滞相干函数随台站距离的变化.(a)汶川地震记录(ZGSA)(与台站Z0相关的值用‘*’表示, 与台站Z1相关的值用‘+’表示, 其他值用‘○’表示);(b)Parkfield地震记录(UPSAR)(修改自Yu et al., 2011, 2020

      Figure 4.  Variation of the hysteretic coherence function with the distance of the station. (a)Wenchuan earthquake (ZGS) (The values related to station Z0 are denoted with asterisks‘*’, the values related to station Z1 are denoted with plus symbols ‘+’, and the data from other stations are denoted with circles‘○’). (b)Parkfield earthquake (UPSAR) (modified from Yu et al., 2011, 2020)

    • 基于密集地震台阵的观测记录,多年来发展了多个能够近似模拟地震动空间变化的迟滞相干函数模型(相干函数的绝对值部分). 按迟滞相干函数模型的建立方法来看,大体可以分为经验模型、半经验半理论模型.

    • Novak和Hindy(1979)提出的相干函数模型是第一次采用随机方法来描述地震动相干值的衰减. 此后,基于台阵SMART-1的大量强震记录,各国学者相继提出了许多有价值的相干函数模型,如表1所示(表中$\omega $是圆频率,$d$为不同测点之间的距离). 其中,模型1(Loh, 1985)中的参数$\alpha $是基于第5次地震记录统计得到,在频率0~7 Hz范围内,对应不同的频率有不同的取值,且随着频率的增加呈增大的趋势,即频率越大,相干函数值衰减得越快;模型2(Harichandran and Vanmarcke, 1986)和模型3(Loh and Lin, 1990)中的参数分别基于第20次和40次地震记录统计得到. 在这3个模型中,研究者主要关注了频率和不同测点(台站)间距的影响,忽视了对地震波传播方向的研究. 而Loh和Yeh(1988)研究认为方向性效应对地震动空间迟滞相关性影响显著,基于“各向同性”假定,给出了模型4,考虑方向影响建立了模型5,并采用第40次和45次地震记录回归得到了参数取值. 此外,Hao等(1989)基于SMART-1的多次地震记录,构建了模型6,该模型采用了地震波传播径向台站间距${d_{\rm{L}}}$和切向台站间距${d_{\rm{T}}}$Oliveira等(1991)采用更多的地震记录,获得了模型6中${\alpha }_{1}, {\alpha }_{2}$关于频率$\omega $的模型,他们认为除了低频段以外,地震动相干函数与${d_{\rm{L}}}$相关性强于切向台站间距${d_{\rm{T}}}$;模型7(Harichandran, 1991)是基于台阵SMART-1的第20次、24次地震记录分析得到的结果,该模型适用于空间距离大于100 m的高频记录分析. 此外, Abrahamson等(1991b)基于台阵LSST(Large Scale Seismic Test)地震记录研究发现,地震波传播径向和切向方向的地震相干性没有明显差异,并建立起了适用于不同地震事件的迟滞相干模型,即:

      表 1  基于SMART-1台阵记录的迟滞相干模型

      Table 1.  Lagged coherence model based on SMART-1 array records

      序号模型表达式参数说明文献
      1$\left| {\gamma (\omega,d)} \right| = \exp (- \alpha d)$参数$\alpha $基于第5次地震Loh(1985)
      2${array}{l} \left| {\gamma (\omega,d)} \right| = A\exp \left(- \frac{ {2Bd} }{ {a\nu (\omega)} }\right) + (1 - A)\exp \left(- \frac{ {2Bd} }{ {\nu (\omega)} }\right) \\ \nu (\omega) = k{\left[1 + {\left(\frac{\omega }{ {2\text{π} {f_0} } }\right)^b}\right]^{ - 1/2} };{array}{*{20}{c} } {B = 1 - A + aA} {array} \\ {array}$$A = 0.736,a = 0.147$
      $k = 5\;210\;{\rm{ m}},{f_0} = 1.09\; {\rm{Hz} }$
      ${f_0} = 1.09 \;{\rm{Hz} },b = 2.78$(第20次地震)
      Harichandran和Vanmarcke(1986)
      3$\left| {\gamma (\omega,d)} \right| = \exp \left(- a\frac{ {\omega d} }{ {2\text{π} V} }\right)$$a = 0.125$(第40次地震) ,$V$为波的视速度Loh和Yeh(1990)
      4${array}{l} \left| {\gamma (\omega,d)} \right| = \exp (- a{d^2}) \\ \left| {\gamma (\omega,d)} \right| = \exp \{ (- a - b{\omega ^2})d\} \\ \left| {\gamma (\omega,d)} \right| = \exp \{ (- a - b\omega){d^c}\} \\ {array} $$a = 2 \times {10^{ - 5}},b = 5 \times {10^{ - 6}}$
      (第40次地震)
      $a = 2 \times {10^{ - 5}},b = {\rm{2}}.5 \times {10^{ - 6}}$
      (第45次地震)
      Loh和Lin(1988)
      5${array}{l} \left| {\gamma (\omega,d)} \right| = \exp \{ (- {a_1} - {b_1}{\omega ^2})\left| {d\cos \theta } \right|\}\cdot \\ \qquad\qquad\exp \{ (- {a_2} - {b_2}{\omega ^2})\left| {d\sin \theta } \right|\} \\ {array}$$\theta $ 为地震波传播方向与两个台站连线的夹角
      6${array}{l} \left| {\gamma ({d_{\rm{L} } },{d_{\rm{T} } },\omega)} \right| = \exp (- {\beta _1}{d_{\rm{L} } } - {\beta _2}{d_{\rm{T} } })\cdot \\ {\rm{ } } \exp \{ - ({\alpha _1}(\omega)\sqrt { {d_{\rm{L} } } } + {\alpha _2}(\omega)\sqrt { {d_{\rm{T} } } }){\left(\frac{\omega }{ {2\text{π} } }\right)^2}\} \\ {\alpha _i}(\omega) = \frac{ {2\text{π} {a_i} } }{\omega } + \frac{ { {b_i}\omega } }{ {2\text{π} } } + {c_i}{array}{*{20}{c} } {array}i = 1,2 \\ {array}$${d_{\rm{L}}}$-沿波传播方向的距离
      ${d_{\rm{T}}}$-垂直波传播方向的距离
      (第24、30和45次地震)
      Hao等(1989) ; Oliveir等(1991)
      7${array}{l} \left| {\gamma (\omega,d)} \right| \\ = A\exp \left(- \frac{ {2d(1 - A)} }{ {ak} }\right){\left[1 + {\left(\frac{\omega }{ {2\text{π} {f_0} } }\right)^b}\right]^{1/2} } + (1 - A) \\ {array}$第20、24次地震记录进行分析,
      建议对空间距离大于100 m的高频记录使用
      Harichandran(1991)

      ${\tanh ^{ - 1}}[\left| {\gamma (f,d)} \right|] = ({a_1} + {a_2}d)\left\{ \exp ({b_1} + {b_2}d)f + \dfrac{{{f^c}}}{3}\right\} + k$

      (5)

      式中,$f = {\omega / {2\text{π} }}$,模型参数采用台阵LSST第15次地震记录统计回归,即${a_1} \!=\! 2.54, {a_2} \!=\! - 0.012,$ ${b_1} \!=\! - 0.115,\; {b_2} = - 0.000\;84,$ $c = - 0.878, k = 0.35$.

      由于台阵SMART-1布设在非基岩场地上,所以表1中的模型都是基于非基岩场地地震记录得到的. 学者们基于基岩场地的地震台阵记录也发展了一些经验模型,如Menke等(1990)通过研究位于Adironack mountain的两个基岩台阵ECO和DBM的地震记录,认为地震动相干效应与地震分量(方向)无关,给出了基岩场地得相干函数模型,即:

      $\left| {\gamma (f,d)} \right| = \exp (- \alpha fd)$

      (6)

      式中,$f$是频率,$d$为不同支撑点之间的距离,参数$\alpha $$(0.4\text{~} 0.7) \times {10^{ - 3}} {\rm{s/m}}$之间变化.

      此外,Abrahamson(2007)对布设在基岩场地上的台阵Pinyon Flat记录到的78次地震进行了分析,提出了面波的迟滞相干函数模型;Cranswick(1988)以及Toksöz等(1991)对基岩场地上的密集地震台阵记录进行分析,同样得到相干函数值随频率和台站的空间距离的增大呈指数衰减的趋势;Schneider等(1992)对比了基岩和土层地震记录的分析结果,认为在空间距离小于100 m的范围内,基岩地震记录的相干函数值与土层记录的值相比,普遍偏小.

    • 大部分经验模型适用于与台阵场地条件类似的工程场地,但它们的参数只适用于该模型的该次地震,换到不同的地震中,参数就不再适用了,需要重新确定. 再者,同一个模型在不同的地震中,相干函数值有较大的差别,甚至同一个模型在同一次地震中不同分量的相干函数值也是不同的. 但在实际工程应用中,大多数工程场地还没发生地震,即使发生了地震,也没有相关的地震记录,所以确定这些参数有着很大的随意性,究竟哪个相干函数模型比较好,很难做出一个准确的判断. 鉴于此,很多学者基于理论分析提出了一些函数形式,但模型参数需要通过对实际地震记录的分析确定,因此称之为半经验半理论模型.

      Luco和Wong(1986)通过对剪切波在随机介质中的传播进行分析,提出了半经验模型:

      $\begin{split} \left| {\gamma (\omega,d)} \right| =& \exp \left[ - {\left(\dfrac{{\eta \omega d}}{{{\upsilon _{rm}}}}\right)^2}\right] = \exp (- {\alpha ^2}{\omega ^2}{d^2}),\\ & \begin{array}{*{20}{c}}{\eta = \mu \sqrt {\dfrac{R}{{{r_0}}}} } \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} ,\quad{\alpha = \dfrac{\eta }{{{\upsilon _{rm}}}}} \end{array} \end{split}$

      (7)

      式中,${\upsilon _{rm}}$是在随机介质中传播的弹性剪切波速,$R$是传播距离,${r_0}$是沿着传播路径不均匀介质的厚度,${\mu }$表示非均匀介质中弹性模量的相对变化,该模型认为相干函数值随$\omega $$d$呈指数衰减的幅度一样,衰减参数$\alpha = 2.5 \times {10^{ - 4}} {\rm{s/m}}$.

      Somerville等(1988)考虑了行波效应、有限震源、传播过程中的散射效应、场地效应这些因素对地震动空间变化的影响,分析台阵LSST记录发现,相干函数值与有限震源没有明显的相关性;Der Kiurghian(1996)通过随机振动理论建立了同时考虑退相干效应、场地效应和行波效应的空间相关性的半理论模型:

      $ \begin{array}{l} {\gamma }_{kl}\left(\omega \right)={\gamma }_{kl}{\left(\omega \right)}^{{\rm{incoherence}}}\cdot {\gamma }_{kl}{\left(\omega \right)}^{{\rm{wave}}\; {\rm{passage}}}\cdot {\gamma }_{kl}{\left(\omega \right)}^{{\rm{site\; response}}} \\ =\cos\left[\beta \left({d}_{kl},\omega \right)\right]\exp[-\dfrac{1}{2}{\alpha }^{2}({d}_{kl},\omega \left)\right]\exp\left\{{{i}}\right[{\theta }_{kl}{\left(\omega \right)}^{{\rm{wave}}\; {\rm{passage}}}+{\theta }_{kl}{\left(\omega \right)}^{{\rm{site}}\; {\rm{response}}}\left]\right\} \end{array} $

      (8)

      式中,$ \omega $为圆频率,$ {d}_{kl} $为台站kl间距,$ {\theta }_{kl}{\left(\omega \right)}^{{\rm{wave\; passage}}} $$ {\theta }_{kl}{\left(\omega \right)}^{{\rm{site\; response}}} $分别为行波效应和场地效应产生的相位角,定义为:

      $ {\theta }_{kl}{\left(\omega \right)}^{{\rm{wave\; passage}}}=-\dfrac{\omega {d}_{kl}^{L}}{{v}_{{\rm{app}}}\left(\omega \right)} $

      (9)

      $ {\theta }_{kl}{\left(\omega \right)}^{{\rm{site\; response}}}=\tan^{-1}\dfrac{{\rm{Im}}\left[{H}_{k}\left(\omega \right){H}_{l}(-\omega)\right]}{{\rm{Re}}\left[{H}_{k}\left(\omega \right){H}_{l}(-\omega)\right]} $

      (10)

      式中,$ {v}_{\rm{app}}\left(\omega \right) $是圆频率为$ \omega $的地震分量的视速度,${H}_{k}\left(\omega \right)$为场地效应传递函数. 该模型指出波形的衰减对相干函数值没有影响.

      进一步研究表明,迟滞相干函数和夹角的相关性不大,因此可以认为${d_{\rm{T}}} = {d_{\rm{L}}} = 0.5d$,于是Yang和Chen(2000)在讨论Der Kiureghian模型(1996)的基础上给出了新的迟滞相干函数模型,即:

      $\begin{split} \left| {\gamma \left({f,d} \right)} \right| =& {[1 + {a_1}{d^{0.25}} + {a_2}{\left({df} \right)^{0.25}}]^{ - 0.5}}\cdot\\& \exp \left[ { - 0.5{{\left({{a_3}{d^{{a_4}}}{f^{{a_5}}}} \right)}^2}} \right] \end{split}$

      (11)

      通过对台阵SMART-1第20次和45次地震记录非线性回归分析,得到了两套模型参数${a_1}$${a_2}$${a_3}$${a_{\rm{4}}}$${a_{\rm{5}}}$.

      除了以上所列出的半经验半理论模型外,Zerva等(1986)假设地震过程为平稳随机过程,提出了空间相干函数的解析模型,该模型尽管没有考虑场地效应,但可以通过台网的记录得到相干函数的解析值;屈铁军等(1996)根据前人提出的模型在各次地震中相干值的平均值,分析给出了计算模型;Zerva和Harada(1997)通过在半空间上覆盖一个无限延伸的、具有随机特性的水平层来近似模拟实际场地地形,从而构建了相干函数的半经验模型,该模型考虑了在地表以恒定速度传播的行波效应、从震源到台站传播过程中的散射效应、局部场地效应、剪切波在水平层中近似垂直传播等因素;丁海平等(2004)考虑弹性半空间断层破裂,建立适用于基岩场地的地震动空间相干模型,并分别给出了相应于走滑断层和倾滑断层的模型参数;王君杰和陈虎(2007)对5种相干函数经验模型分析后提出了用有理式表达的统一经验模型;Ye等(2011)基于Hao等(1989)的模型,采用台阵SMART-1记录建立了竖向地震动相干函数模型.

      对于已建立的经验模型或半经验模型,国内外研究者也在不断讨论模型的适用性及影响因素. 比如,Konakli等(2014)基于台阵UPSAR在2004年Parkfiled地震中记录到的数据,研究了已有半经验模型和经验模型在其他场地和地震中的适用性;Hong和Liu(2014)以及Liu和Hong(2016)基于台阵SMART-1和LSST记录分析单个台站或多个台站之间不同水平方向分量之间、两水平方向和竖直方向之间地震动空间相关性;Todorovska等(2015)合成了9个不同场地上的地表地震动,用来分析场地效应对空间相关性的影响;Rodda和Basu(2018)考虑了自功率密度谱形状的空间变化,分析地震动转动分量的空间相关性,其中,迟滞相干函数模型为:

      $ {|\gamma }_{jk}\left(f,d\right)|={\left(1+{g}_{1}\left(d\right)\sum\limits_{i=1}^{n}{A}_{i}\exp \left(-\dfrac{{\left(f-{\mu }_{i}\right)}^{2}}{2{\sigma }_{i}^{2}}\right)\right)}^{0.5} $

      (12)

      式中,$ d $为距离,参数$ {A}_{i} $来源于他们提出的自功率谱模型,ui${\sigma }_{i}$与中心频率$ {f}_{c} $和频率延伸范围$ {f}_{s} $有关;基于不同地震动幅值衰减模型,$ {g}_{1}\left(u\right) $有两种可能的形式:${g}_{1}\left(u\right)\!=\!\exp\left(2\beta u\right)-1$,或 ${g}_{1}\left(u\right)\!=\!(1+{a}_{1}u)^{2{a}_{2}} - 1$,其中βa1a2为模型参数.

      此外,Wang等(2019)基于小波方法分析相邻台站记录间的时间相依互功率谱和时间相依空间迟滞相干函数,建立时间相依空间相干函数模型,即:

      $ \begin{split} \gamma \left({\xi }_{l},{\xi }_{t},\omega,t\right)=& A\cdot \exp\left\{-{\beta }_{1}\left(t\right)\cdot \left|{\xi }_{l}\right|-{\beta }_{2}\left(t\right)\cdot \left|{\xi }_{t}\right|\right\}\cdot \exp\left\{-{\eta }^{2}\left(t\right)\cdot {\xi }_{l}^{2}{\omega }^{2}\right\}\cdot \\& \quad \exp\left\{-{\chi }^{2}\left(t\right)\left\{1-\exp\left[-{\lambda }^{2}\left(t\right){\xi }_{t}^{2}\right]\right\} \cdot {\omega }^{2}\right\}+\left(1-A\right) \end{split} $

      (13)

      式中,${\xi }_{l}$ξt分别为地震传播方向和切向的台站间距,$ t $为时间,$ A $为常数,β1(t)、β2(t)、η(t)、χ(t)和$ \lambda \left(t\right) $均为时间相依的模型参数.

    • 基于密集地震台阵记录的地震数据,目前已发展了大量用于近似描述地震动空间变化的模型. 如第2节所述,不管是经验模型或半经验半理论模型,模型参数的估计都和实际地震台阵记录相关,工程应用中,对于未发生地震或没有实际记录的场地,如何选择合理的模型近似描述地震动的空间变化,也是将相干函数模型应用于工程实践必须要解决的问题.

    • 我们首先选取4个常用的模型,基于自贡台阵记录到的汶川地震数据、台阵UPSAR记录到的Parkfield地震和San Simeon地震的加速度记录,分析不同模型对迟滞相干函数的拟合情况. Model A为采用我国1975年海城地震余震的观测记录所建议的相干函数模型(冯启民和胡聿贤,1981);Model B为Harichandran和Vanmarcke(1986)提出的模型(表1中模型2);Model C为丁海平等(2004)考虑弹性半空间断层破裂所建议的基岩场地相干函数模型;Model D为Menke等(1990)建议的相干函数模型. 图5给出了4种相干函数模型对三次地震EW方向加速度记录相干函数在圆频率$\omega $分别为${\rm{\text{π} }}$${\rm{3}}\text{π} $${\rm{10}}\text{π} $时的模拟情况(Yu et al., 2020),图5中,由于Model D的参数$\alpha $$(0.4\text{~}0.7) \times{10^{ - 3}}{\rm{s/m}}$之间变化,所以用灰色带表示此模型. 分析图5中相干函数随频率和距离的变化曲线,可以看出:(1)对于汶川记录,在低频段,除了Model C外,其它模型衰减过快;在高频部分,Model A对相干函数估计偏大,Model D计算得到的数值相对较小,Model B和Model C相对拟合效果较好;(2)对于Parkfield地震记录,当频率较低的频段,Model D能够较好地反映相干函数的变化,其它模型则过高估计了相干函数值的变化;Model A和Model B在频率$\omega > 3{\rm{\text{π} }}$的范围内,能得到较好的拟合效果,而Model D在$\omega > 10{\rm{\text{π} }}$时,其对相干函数的估计才比较合理;(3)对于San Simeon地震记录,相干函数数据点的离散性比Parkfield地震小,4个模型的拟合结果与Parkfield地震的结果相似.

      图  5  四种相干函数模型对实际地震记录相干函数的拟合结果.(a)汶川地震记录(ZGSA)(与台站Z0相关的值用‘*’表示, 与台站Z1相关的值用‘+’表示, 其他值用‘○’表示);(b)Parkfield地震记录(UPSAR);(c)San Simeon地震记录(UPSAR)(修改自Yu et al., 2011, 2020

      Figure 5.  Fitting results of four coherence function models to the coherence function of real seismic records. (a) Wenchuan earthquake (ZGSA) (The values related to station Z0 are denoted with asterisks‘*’, the values related to station Z1 are denoted with plus symbols‘+’, and the data from other stations are denoted with circles‘○’). (b) Parkfield earthquake (UPSAR). (c) San Simeon earthquake (UPSAR) (modified from Yu et al., 2011, 2020)

      以上通过4种相干函数模型对三次地震相干函数拟合分析来看,不同计算模型对计算数据点符合程度和频率有密切的关系,有些模型在低频部分对相干函数的变化规律有较好的反映,而有些模型则只能较好地描述相干函数在高频部分的变化. Yu等(2020)研究认为应该存在一个拐点频率,即在此频率点前相干函数的变化规律和此频率点后的变化规律有所不同,并将其定义为“相干拐点频率${f_{{\rm{cc}}}}$”. 通过多次地震记录的统计分析,认为频率${f_{{\rm{cc}}}}$的变化和场址到震源的距离有关,并基于对4次地震的统计分析,给出了取值建议(如表2所示). 基于相干拐点频率,Yu等(2020)构建了有理式表达的分频段相干函数模型,即:

      表 2  四次地震的相干拐点频率${f_{{\rm{cc}}}}$取值

      Table 2.  Values of coherent inflection point frequency ${f_{{\rm{cc}}}}$ of four earthquakes

      地震事件汶川
      Ms 8.0)
      27th
      Ms5.9)
      San Simeon
      Ms 6.5)
      Parkfield
      Ms 6.0)
      台阵名称 ZGSASMART-1UPSARUPSAR
      震中距/km226.613555.611.6
      ${f_{{\rm{cc}}}}$/Hz 1.51.00.750.50

      $\left| {\gamma (\omega,d)} \right| = \dfrac{1}{{1 + \alpha ({f_{{\rm{cc}}}}){d^{q({f_{{\rm{cc}}}})}}{\omega ^4}}}\exp [ - \beta ({f_{{\rm{cc}}}})d]$

      (14)

      式中,$\omega $是圆频率,$d$为不同支撑点之间的距离,参数$\alpha ({f_{{\rm{cc}}}})$$q\left({{f_{{\rm{cc}}}}} \right)$$\,\beta ({f_{{\rm{cc}}}})$都是和相干拐点频率相关的模型参数. 通过对4次地震建立的水平向和竖向模型参数,能够较好地模拟近场和远场地震动空间变化,这为模拟震源距已知的局部场地地震动的空间变化提供了一个很好的选择.

    • 为了进一步说明是否能够忽略局部场地条件,按照震中距选择相干函数模型来近似估计不同测点间地震动的相关性,我们忽略场地条件的差别,挑选出震中距与Yu等(2020)所选地震记录相近的记录,并和其他相干函数模型的结果进行对比.

      首先在震中距R在95~145 km范围内,挑选地震台阵记录建立的模型,用来和基于SMART-1第27次地震(R=135 km)建立的模型进行对比,相干函数曲线对比的结果如图6所示,可以看出,在频率为0.5 Hz、4 Hz和6 Hz时,Hao等(1989)Oliveira等(1991)的模型[基于SMART-1第20次地震(R=116.83 km)记录],以及Yang和Chen(2000)模型[基于SMART-1第25次地震(R=99.07 km)记录]计算得到相干函数曲线,都与Yu等(2020)模型得到的结果比较接近. 因此可以认为,对于距震中较远的场地,可以按照模型建立时所选择的地震记录的震中距选择相应的模型,近似模拟该地震动的空间变化.

      图  6  震中距95~140 km,Yu等(2020)模型与其它模型的对比

      Figure 6.  Comparison and analysis of Yu et al. (2020) model with other models in the range of 95~140 km epicenter distance

      再者,在震中距R为50~95 km范围内,挑选地震台阵记录建立的模型,用来和式(14)基于San Simeon地震(R=55.6 km)建立的模型进行对比,相干函数曲线对比的结果如图7所示. 可以看出,当 $f \!=\! 0.5\;{\rm{Hz}}$时,Hao等(1989)Oliveira等(1991)的模型[ 基于SMART-1第46、 47次地震 (R=79 km)记录],以及Yang和Chen(2000)模型[ 基于SMART-1第46次地震(R=79 km)记录]计算得到相干函数曲线与Yu等(2020)模型给出的相干函数曲线比较接近;$f = 4\;{\rm{Hz}}$时,Loh和Yeh(1988)模型[基于SMART-1第40次地震(R=68.13 km)记录]建立的相干函数曲线与Yu等(2020)模型的结果比较接近;当 $f = 6\;{\rm{Hz}}$时,Loh和Yeh(1988)模型[基于SMART-1第40次、45次地震(R=76.13 km)记录]的相关函数与Yu等(2020)模型的结果比较接近. 通过以上分析可以说明,对于距震中较近的场址,相干函数模型的选择比较复杂,但综合来看,各个模型在不同频段的近似模拟情况有所不同,考虑到高频范围内相干函数随测点间距离的衰减速率快于低频范围,因此Yu等(2020)建议的分频段模型似乎更合理,可以近似估计整个频率范围内地面运动的空间变化. 因此,在进行相干函数模型选择时,可以忽略场地条件的影响,基于场址到震源的距离选择合适的模型.

      图  7  震中距50~95 km,Yu等(2020)模型与其它模型的对比

      Figure 7.  Comparative analysis of Yu et al. (2020) model with other models in the range of epicenter distance of 50~95 km

    • 地震动空间变化对大跨空间结构的地震响应有很大的影响,因此地震动空间变化的合理描述对实际工程应用有重要的意义. 就目前的研究成果来看,虽然基于密集地震台阵的大量数据,已经有很多的研究成果,但就影响地震动空间变化的各个因素来看,还需要研究人员在以下方面开展相应的研究:

      (1)在工程尺度范围内,符合不同震级、距离和场地条件分类的密集地震台阵数量明显不足,因此,在条件允许的条件下,应开展密集地震台站的建设与数据的收集;

      (2)影响地震动空间变化的可能因素包括震源、传播路径、局部场地的变化以及传播的方向等,在实际密集地震台阵数据不足的情况下,可基于不同的研究目标,采用模拟地震动数据开展各种影响因素的研究;

      (3)对于未发生地震或没有地震记录的场址,如何挑选合适的相干函数模型用来近似估计工程尺度范围内地震动的空间变化,还需要更多的理论和数据支持,开展更加深入的研究;

      (4)用工程师熟悉的模型描述地震动空间变化特性,将对地震动空间变化特性的研究成果写入规范,并指导工程应用,是目前迫切需要解决的问题.

参考文献 (53)

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